\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{myheadings}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{MnSymbol,wasysym}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{cancel}
\usepackage{hyperref}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}



\title{Uppgift -- matte 2b }
\author{Brian Smith}

\markright{brism574@student.liu.se}



\begin{document}

 \maketitle\thispagestyle{myheadings}
 
 \section*{Uppgift}
 
 Vi ska in denna uppgift betrakta en avgränsad del av en låtsas-ekonomi. I synnerhet ska vi studera samspelet mellan kol- och stålindustrier enligt input-output analys (Leontief, 1986). Uppgiften liknar ett exempel på\\ 
 \url{https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inputoutput.htm} (Watkins, u. å.).
 
 \begin{enumerate}
 \item   I vår låtsas ekonomi krävs det 3 ton kol för att producera ett ton stål och det krävs 0,1 ton stål för att producera ett ton kol.
 \begin{enumerate}[i]
    \item  Skriv en ekvation som visar hur mycket kol $k$ som måste produceras om vi ska producera $s$ ton stål och leverera 200 ton kol till den övriga marknaden.  \hfill (2/0/0)
 
    \item  Skriv en ekvation som visar hur mycket stål $s$ som måste produceras om vi ska producera $k$ ton kol och leverera 100 ton stål till den övriga marknaden.  \hfill (1/0/0)
 \end{enumerate}
 
 \item Hur mycket kol $k$ och stål $s$ måste produceras för att leverera 200 ton kol och 100 ton stål till den övriga marknaden.\\ \begin{bf}Motivera din lösning. \end{bf} \hfill (3/0/0)
                                                                                                                                
 \item Skriv ett ekvationssystem som visar sambandet mellan de totala mängder kol $k$ och stål $s$ som måste produceras för att leverera 200 ton kol och 100 ton stål till den övriga marknaden om det krävs $a$ ton kol för att producera ett ton stål och $b$ ton stål för att producera ett ton kol. 
 \begin{flushright} (0/3/0) \end{flushright}
 
 \item Vilket villkor måste $a$ och $b$ uppfylla för att garantera att vi kan leverera 200 ton kol och 100 ton stål till den övriga marknaden? Glöm inte att också testa för rimlighet med hänseende på det vi försöker
 att modellera.
 Presentera ditt fullständiga resonemang!  \hfill (0/0/4)

\end{enumerate}

\section*{Lösning}


\begin{enumerate}
 \item I vår låtsas ekonomi krävs det 3 ton kol för att producera ett ton stål och det krävs 0,1 ton stål för att producera ett ton kol.
 \begin{enumerate}[i]
    \item  Den totala mängden kol $k$ fås ifrån
    \[
        k = \text{mängden för att producera $s$ ton stål} + \text{200 till marknaden},
    \]
    men
    \[
    \text{mängden kol får att producera $s$ ton stål} = \frac{3\,\text{ton kol}}{\text{ton stål}}\cdot s.  
    \]
    Använder vi detta så får vi
    \begin{equation} \label{kol}
           k =  3s + 200.
    \end{equation}
    \item  På liknande sätt får vi 
    \[
        s = \text{mängden för att producera $k$ ton kol} + \text{100 ton till marknaden}
    \]
    \begin{equation}\label{stål}
           s = 0,1k + 100.
    \end{equation}
\end{enumerate}

 \item Vi ska producera 200 ton kol och 100 ton stål för den övriga marknaden, fast det krävs mer än så därför att det krävs stål för att producera kol och tvärtom. Ekvation~\eqref{kol} visar hur mycket kol som krävs för stålindustrin och den övriga marknaden och \eqref{stål} visar hur mycket stål som krävs för kolindustrin och den övriga marknaden. Nu måste dessa gälla samtidigt och vi måste lösa det resulterande systemet:
 \begin{align*}
    k &= 3s + 200\\
    s &= 0,1k + 100
 \end{align*}
 Det finns olika sätt att gå till väga för att lösa systemet. Vi kan till exempel använda ekvation~\eqref{kol} för att  ersätta $k$ i ekvation~\eqref{stål}:
 \begin{gather*}
    s = 0,1(3s + 200) + 100 = 0,3s + 120 \\
    \Leftrightarrow s = 0,3s + 20\\
    \Leftrightarrow s - \textcolor{red}{0,3 s} = \cancel{0,3s}  - \textcolor{red}{\cancel{0,3s}} + 120\\
    \Leftrightarrow 0,7s = 120 \,\, \implies s = 120/0,7 \approx 171,43
\end{gather*}
och vi ser att det krävs (avrundat till 2 decimal platser) 171.43 ton stål 
Sätter vi vår lösning för $s$ i ekvation~\eqref{kol} så får vi 
\begin{gather*}
    k = 3s + 200 = 3(120/0,7) + 200 \approx 714,29.\,\, \text{dvs} \\
    k \approx 714,29.
\end{gather*}
Alltså krävs det (till två decimal platser) 714,29 ton kol. 

\item Som ovan vill vi producera 200 ton kol och 100 ton stål, fast nu krävs det 
$a$ ton kol per ton stål för att producera stål och 
$b$ ton stål per ton kol för att producera kol, men resonemanget är detsamma:
\begin{gather*}
 k = \text{mängden för att producera $s$ ton stål} + \text{200 till marknaden}\\
 \Leftrightarrow k = a\cdot s + 200\\
 \text{och}\,\, s = \text{mängden för att producera $k$ ton kol} + \text{100 till marknaden}\\
 \Leftrightarrow s = b\cdot k + 100.
\end{gather*}
Alltså modelleras den mer allmänna situationen av följande system:
\begin{align}
 k &= a\cdot s + 200 \label{kol2}\\
 s &= b\cdot k + 100\label{stål2}.
\end{align}

\item För att undersöka vad för villkor det kan finnas på $a$ och $b$ ska vi försöka lösa föregående 
systemet som ovan: precis som innan kan vi använda ekvation~\eqref{kol2} för att ersätta $k$ i 
ekvation~\eqref{stål2}:
\begin{gather*}
    s = b(a\cdot s + 200) + 100 = a\cdot b\cdot s + 200 b + 100 \\
    \Leftrightarrow s = a\cdot b\cdot s + 200 b + 100\\
    \Leftrightarrow s - \textcolor{red}{a\cdot b\cdot s} 
        = \cancel{a\cdot b\cdot s}  - \textcolor{red}{\cancel{a\cdot b\cdot s}} + 200 b + 100\\
    \Leftrightarrow (1 - a\cdot b)s = 200 b + 100.
\end{gather*}
Om $a\cdot b = 1$ blir den sista ekvationen $0 = 200 b + 100 > 0$ som inte är sant: alltså är ett
villkor att $a\cdot b \neq 1$. Om villkoret uppfylls så kan vi dela båda sidor med $1 - a\cdot b$ för att få:
\[
    s = \frac{\cancel{(1 - a\cdot b)}s}{\cancel{1 - a\cdot b}} = \frac{200 b + 100}{1 - a\cdot b}
\]
på liknande sätt kan vi lösa för $k$ 
\begin{gather*}
    k = b(a\cdot k + 100) + 200 = a\cdot b\cdot k + 100 a + 200 \\
    \Leftrightarrow (1 - a\cdot b)k = 100 a + 200\\
    \implies k = \frac{100 a + 200}{1 - a\cdot b}.
\end{gather*}
Alltså kan vi lösa för $k$ och $s$ så länge $a \cdot b \neq 1$. \begin{it}Men\end{it} vi måste
vara försiktiga! Om $a\cdot b > 1$ är $1 - a \cdot b < 0$ och $k$ och $s$ blir negativa. Detta är
orimligt därför att dessa är \begin{it}totalt producerade mängder\end{it} vilka bör vara 
positiva. Alltså är villkoret för att producera de önskade mängderna kol och stål att $a\cdot b < 1$. Enligt
modellen går det att producera de önskade mängder kol och stål för marknaden om och endast om detta villkor uppfylls.\footnote{Egentligen är $a\cdot b < 1$ det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att kunna producera 
\begin{it}någon\end{it} kol och stål för marknaden, men vi har inte bevisat det. Detta kan bevisas genom att upprepa
argumentet med godtyckliga mängder kol och stål $k_m, s_m$ till marknaden.}
\end{enumerate}

\section*{Källor}
    Leontief, W. (1986). \begin{it}Input–Output Economics.\end{it} (2nd ed.). Oxford University Press.\\ \\
    
    Watkins, T. (u.å.). \begin{it}Input-Output Analysis and Related Methods.\end{it}
    \url{https://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inputoutput.html}
    
    
\newpage

\section*{Låtsas-lösning - elev A}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}[i]
        \item k = 0,1s + 200 \hfill\textcolor{red}{1E B}\\
                            \hfill\textcolor{red}{0E PM: eleven har förväxlat koefficienterna.}
        \item s = 3k + 100 \hfill\textcolor{red}{0E B}
    \end{enumerate}
    
    \item \begin{gather*}
           k = 0,1(3k + 100) + 200 = 0,3k + 210\\
           k - 0,3k = \cancel{0,3k} + 210 - \cancel{0,3k}\\
           0,7k = 210\\
           k = 210/0,7 = 300
          \end{gather*}
          
          \begin{gather*}
           s = 3(0,1s + 200) + 100 = 0,3s + 700\\
           s - 0,3s = \cancel{0,3s} + 700 - \cancel{0,3s}\\
           0,7s = 700\\
           s = 700/0,7 = 1000.
          \end{gather*}    \hfill \textcolor{red}{1E PL, 2E PR}     
          
    \item Men vad är $a$ och $b$? \hfill \textcolor{red}{0 poäng}
    
    \item ????? \hfill \textcolor{red}{0 poäng}

 
\end{enumerate}



\section*{Låtsas-lösning - elev B}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}[i]
        \item k = 3s + 200 \hfill\textcolor{red}{1E B, 1E M}
        \item s = 0,1k + 100 \hfill \hfill\textcolor{red}{1E B}.
    \end{enumerate}
    
    \item Vi kan skriva om ekvationer och sedan multiplicera den första med 0,1.  
    \begin{align*}
           (k - 3s) 0,1 &= 200\cdot 0,1\\
           -0,1k + s &= 100
    \end{align*}
    \begin{align*}
            0,1k -0,3s &= 20\\
            -0,1k + s &= 100\\
            \cline{1-2}
            0,7s &= 120
    \end{align*}
    \[
        s = 120/0,7 = 171,43.  
    \]

    $k = 3s + 200 = 3\cdot 171,43 + 200 = 714,29.$      \hfill \textcolor{red}{1E PL, 2E PR}
    
    \textcolor{red}{a och b tillsammans: +1E kommunikation för förklaring}.
          
    \item Nu spelar $a$ och $b$ rollerna som 3 och 0,1 spelade innan. Om vi byta ut i ekvationerna ovan
    \begin{align*}
        k - a\cdot s &= 200\\
        -b\cdot k  +s &= 100
    \end{align*}     \hfill\textcolor{red}{2C M, 1C K}
    
    \item 
    \begin{align*}
        &b\cdot k - b\cdot a\cdot s = 200\cdot b\\
        -&b\cdot k \, + \,\,s \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= 100\\
        \cline{1-2}
        &s - b\cdot a \cdot s = 200\cdot b + 100\\
        &s(1 - b\cdot a) = 200\cdot b + 100
    \end{align*} 
    Om $a\cdot b \neq 1$ går det att lösa.
    \begin{align*}
       \frac{s\cancel{(1 - b\cdot a)}}{\cancel{1 - b\cdot a}} &= \frac{200\cdot b + 100}{1 - b\cdot a}\\
       s &= \frac{200\cdot b + 100}{1 - b\cdot a}.
    \end{align*}
    Och 
    \begin{gather*}
    k = 3(\frac{200\cdot b + 100}{1 - b\cdot a}) + 200\\
      = ????
    \end{gather*}
    Men vi kan lösa. Svar: $a\cdot b$ får inte vara lika med 1.
    \hfill\textcolor{red}{1A R, 1A K, 0,5A PR, 0A PL: eleven har inte undersökt rimlighet.}
    
\end{enumerate}

\section*{Låtsas-lösning - elev C}

 \begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate}[i]
    \item  
    \[
        k = \text{kol för stål} + \text{kol till marknaden},
    \]
    vilket blir
    \[
           k =  3s + 200.
    \] \hfill\textcolor{red}{1E B, 1E PL}
    \item  På liknande sätt får vi 
    \[
        s = \text{stål för kol} + \text{kol till marknaden}
    \]
    \[
           s = 0,1k + 100.
    \]  \hfill\textcolor{red}{1E B}
\end{enumerate}

 \item Båda de ekvationerna ovan måste gälla samtidigt:
 \begin{align*}
    k &= 3s + 200\\
    s &= 0,1k + 100
 \end{align*}
 \begin{gather*}
    s = 0,1(3s + 200) + 100 = 0,3s + 120 \\
    s = 0,3s + 20\\
    s - 0,3 s = \cancel{0,3s}  - \cancel{0,3s} + 120\\
    0,7s = 120 \,\, \implies s = 120/0,7 = 171,43
\end{gather*}
Och nu för hitta $k$!
\[
    k = 3s + 200 = 3(120/0,7) + 200 = 714,29.
\]
\hfill\textcolor{red}{1E PL, 2E PR}\\
\hfill\textcolor{red}{a och b: 1E K}.


\item Som ovan vill vi producera 200 ton kol och 100 ton stål, fast nu krävs det 
$a$ ton kol per ton stål för att producera stål och 
$b$ ton stål per ton kol för att producera kol, men resonemanget är detsamma:
\begin{gather*}
 k = \text{kol för stål} + \text{kol till marknaden}\\
 k = a\cdot s + 200\\
 s = \text{stål för kol} + \text{stål till marknaden}\\
 s = b\cdot k + 100.
\end{gather*}
Man måste lösa
\begin{align*}
 k &= a\cdot s + 200\\
 s &= b\cdot k + 100
\end{align*} \hfill\textcolor{red}{2C M, 1C K}

\item Frågan är när kan vi lösa ekvationen och få en rimlig lösning.
\begin{gather*}
    s = b(a\cdot s + 200) + 100 = a\cdot b\cdot s + 200 b + 100 \\
     s = 0,3s + 20\\
     s - a\cdot b\cdot s 
        = \cancel{a\cdot b\cdot s}  - \cancel{a\cdot b\cdot s} + 200 b + 100\\
    (1 - a\cdot b)s = 200 b + 100.
\end{gather*}
Om $a\cdot b \neq 1$ kan vi lösa:
\[
    s = \frac{\cancel{(1 - a\cdot b)}s}{\cancel{1 - a\cdot b}} = \frac{200 b + 100}{1 - a\cdot b}
\]
Och nu för $k$!
\begin{gather*}
    k = b(a\cdot k + 100) + 200 = a\cdot b\cdot k + 100 a + 200 \\
    (1 - a\cdot b)k = 100 a + 200\\
    k = \frac{100 a + 200}{1 - a\cdot b}.
\end{gather*}
Om $a\cdot b > 1$ blir $1 - a\cdot b$ negativ och våra lösningar blir negativa. Detta är orimligt.
Villkoret är $a\cdot b > 1$. 
\end{enumerate} \hfill\textcolor{red}{1A R, 1A PL, 1A PR, 1A K}.
 
\end{document}
