Andraderivatan
Låt \(f(x)\) vara en funktion som är deriverbar: dvs existerar \(f'(x)\). Observera att \(f'(x)\) är också en funktion som möjligtvis är deriverbar. I så fall heter derivtatans derivat andraderivatan och betecknas \(f''(x)\). Dvs $$ f''(x) = (f')'(x). $$
Det visar sig att andraderivatan är ett kraftigt verktyg när vi vill hitta lokala maximi- och minimipunkter, men innan vi diskuterar detta är det bra att komma ihåg ett par grundliggande fakta när det gäller förstaderivatan.
Fakta 1 Låt \(g\) vara en deriverbar funktion. Om \(g'(a)>0\) så är \(g\) ökande i närheten av \(a\).
Fakta 1 Låt \(g\) vara en deriverbar funktion. Om \(g'(a) < 0 \) så ör g avtagande i närheten av \(a\).
Med hjälp av dessa kan vi nu bevisa satserna som gör andraderivatan till ett sådant kraftigt verktyg.Sats
Om \(f'(a)=0\) och \(f''(a) > 0 \) så är \((a, f(a))\) en lokal minimipunkt.
Beviset följer ifrån två påståenden och ett teckenstudie.
Bevis:
Påstående 1: \(f'(x)\) är ökande i närheten av \(a\).
Varför? Anledning: detta följer ifrån antagandet \(f''(x)>0\) och fakta 1 ovan. Om vi
tar \(g(x) = f'(x)\) i fakta 1 så ser vi .... (komplettera).
Påstående 2: \(f'(x)<0\) direkt innan \(a\) och \(f'(x)>0\) direkt efter \(a\).
Varför? Detta följer direkt ifrån föregående påstående och antagandet \(f'(a)=0\).
Ser du det?
ÖVNING: Inför nu informationen i påstende 2 i en teckentabell. Från detta framgår slutsaten ... och med din hjälp kommer satsen ha bevisats!!!
Sats
Om \(f'(a)=0\) och \(f''(a) < 0 \) så är \((a, f(a))\) en lokal maximipunkt.