Lösning

1. I vår låtsas ekonomi krävs det 3 ton kol för att producera ett ton stål och det krävs 0,1 ton stål för att producera ett ton kol.
   1. Den totala mängden kol $k$ fås ifrån
      $$k =$$   mängden för att producera $s$ ton stål$$+$$   200 till marknaden$$,$$
      men
         mängden kol får att producera $s$ ton stål$$= \frac{3\,\text{ton kol}}{\text{ton stål}}\cdot s.$$
      Använder vi detta så får vi

      $$k = 3s + 200.$$ (1)

   2. På liknande sätt får vi
      $$s =$$   mängden för att producera $k$ ton kol$$+$$   100 ton till marknaden$$$$

      $$s = 0,1k + 100.$$ (2)

2. Vi ska producera 200 ton kol och 100 ton stål för den övriga marknaden, fast det krävs mer än så därför att det krävs stål för att producera kol och tvärtom. Ekvation () visar hur mycket kol som krävs för stålindustrin och den övriga marknaden och () visar hur mycket stål som krävs för kolindustrin och den övriga marknaden. Nu måste dessa gälla samtidigt och vi måste lösa det resulterande systemet:

   $$k = 3s + 200$$

   $$s = 0,1k + 100$$

   Det finns olika sätt att gå till väga för att lösa systemet. Vi kan till exempel använda ekvation () för att ersätta $k$ i ekvation ():

   $$s = 0,1(3s + 200) + 100 = 0,3s + 120$$

   $$\Leftrightarrow s = 0,3s + 20$$

   $$\Leftrightarrow s - \textcolor{red}{0,3 s} = \cancel{0,3s} - \textcolor{red}{\cancel{0,3s}} + 120$$

   $$\Leftrightarrow 0,7s = 120 \,\, \implies s = 120/0,7 \approx 171,43$$

   och vi ser att det krävs (avrundat till 2 decimal platser) 171.43 ton stål Sätter vi vår lösning för $s$ i ekvation () så får vi

   $$k = 3s + 200 = 3(120/0,7) + 200 \approx 714,29.\,\,$$

   $$k \approx 714,29.$$

   Alltså krävs det (till två decimal platser) 714,29 ton kol.

3. Som ovan vill vi producera 200 ton kol och 100 ton stål, fast nu krävs det $a$ ton kol per ton stål för att producera stål och $b$ ton stål per ton kol för att producera kol, men resonemanget är detsamma:

   $$k = s +$$

   $$\Leftrightarrow k = a\cdot s + 200$$

   $$\,\, s = k +$$

   $$\Leftrightarrow s = b\cdot k + 100.$$

   Alltså modelleras den mer allmänna situationen av följande system:

   $$k = a\cdot s + 200$$ (3)

   $$s = b\cdot k + 100.$$ (4)

4. För att undersöka vad för villkor det kan finnas på $a$ och $b$ ska vi försöka lösa föregående systemet som ovan: precis som innan kan vi använda ekvation () för att ersätta $k$ i ekvation ():

   $$s = b(a\cdot s + 200) + 100 = a\cdot b\cdot s + 200 b + 100$$

   $$\Leftrightarrow s = a\cdot b\cdot s + 200 b + 100$$

   $$\Leftrightarrow s - \textcolor{red}{a\cdot b\cdot s} = \cancel{a\cdot b\cdot s} - \textcolor{red}{\cancel{a\cdot b\cdot s}} + 200 b + 100$$

   $$\Leftrightarrow (1 - a\cdot b)s = 200 b + 100.$$

   Om $a\cdot b = 1$ blir den sista ekvationen $0 = 200 b + 100 > 0$ som inte är sant: alltså är ett villkor att $a\cdot b \neq 1$. Om villkoret uppfylls så kan vi dela båda sidor med $1 - a\cdot b$ för att få:
   $$s = \frac{\cancel{(1 - a\cdot b)}s}{\cancel{1 - a\cdot b}} = \frac{200 b + 100}{1 - a\cdot b}$$
   på liknande sätt kan vi lösa för $k$

   $$k = b(a\cdot k + 100) + 200 = a\cdot b\cdot k + 100 a + 200$$

   $$\Leftrightarrow (1 - a\cdot b)k = 100 a + 200$$

   $$\implies k = \frac{100 a + 200}{1 - a\cdot b}.$$

   Alltså kan vi lösa för $k$ och $s$ så länge $a\cdot b \neq 1$. Men vi måste vara försiktiga! Om $a\cdot b > 1$ är $1 - a \cdot b < 0$ och $k$ och $s$ blir negativa. Detta är orimligt därför att dessa är totalt producerade mängder vilka bör vara positiva. Alltså är villkoret för att producera de önskade mängderna kol och stål att $a\cdot b < 1$. Enligt modellen går det att producera de önskade mängder kol och stål för marknaden om och endast om detta villkor uppfylls.¹